Pubblicato in 10 June 2019

Capire il modello binomiale

Per accordarsi sui prezzi accurato per qualsiasi attività negoziabile è impegnativo - è per questo che i prezzi delle azioni cambiano continuamente. In realtà, le aziende difficilmente cambiano le loro valutazioni in un giorno per giorno, ma i loro prezzi delle azioni e le valutazioni cambiano quasi ogni secondo. Questa difficoltà nel raggiungere un consenso sulla determinazione dei prezzi corretta per qualsiasi attività negoziabile porta a breve durata di arbitraggio opportunità.

Ma un sacco di investire con successo si riduce ad una semplice domanda di oggi di valutazione - qual è il giusto prezzo attuale oggi per un futuro payoff atteso?

Opzioni binomio di Valutazione

In un mercato competitivo, per evitare opportunità di arbitraggio, le attività con strutture identiche payoff devono avere lo stesso prezzo. Valutazione delle opzioni è stato un impegnativo compito variazioni dei prezzi e portare a opportunità di arbitraggio. Black-Scholes rimane uno dei modelli più popolari utilizzati per il pricing opzioni , ma ha dei limiti.

La valutazione delle opzioni binomiale modello è un altro metodo popolare usato per opzioni di prezzo .

Esempi

Si supponga v’è un’opzione call su una particolare azione con una corrente prezzo di mercato di $ 100. L’ at-the-money opzione (ATM) ha un prezzo di esercizio di $ 100 con il tempo di scadenza di un anno. Ci sono due commercianti, Peter e Paula, che sia d’accordo che il prezzo del titolo sarà o salirà a $ 110 o cadere a $ 90 in un anno.

Sono d’accordo sul livello dei prezzi si attende in un determinato lasso di tempo di un anno, ma non sono d’accordo sulla probabilità del movimento verso l’alto o verso il basso. Peter è convinto che la probabilità di prezzo del titolo che va a $ 110 è del 60%, mentre Paula ritiene che sia il 40%.

Sulla base di questo, che sarebbe disposto a pagare di più prezzo per l’opzione call? Forse Pietro, come si aspetta un’alta probabilità di movimento in su.

Calcoli Opzioni binominal

I due beni, che la valutazione dipende, sono l’opzione call e del titolo sottostante. C’è un accordo tra i partecipanti che il prezzo del titolo sottostante può spostarsi dagli attuali $ 100 a $ o 110 o $ 90 nella di un anno e non ci sono altre prezzo si muove possibile.

In un mondo libero di arbitraggio, se si deve creare un portafoglio composto da questi due asset, chiamare option e di stock di base, in modo tale che indipendentemente da dove il prezzo del sottostante va - $ 110 o $ 90 - il rendimento netto del portafoglio rimane sempre lo stesso . Supponiamo di acquistare “D” azioni di opzione una chiamata di base e breve per creare questo portafoglio.

Se il prezzo sale a $ 110, le vostre azioni saranno un valore di $ 110 * d, e si perde $ 10 sul breve chiamata payoff. Il valore netto del vostro portafoglio sarà (110 quinquies - 10).

Se il prezzo scende a $ 90, le vostre azioni saranno un valore di $ 90 * d, e l’opzione scadrà worthlessly. Il valore netto del vostro portafoglio sarà (90d).

Se si desidera che il valore del vostro portafoglio di rimanere lo stesso indipendentemente da dove il prezzo del titolo sottostante va, allora il valore del portafoglio dovrebbe rimanere lo stesso in entrambi i casi:

(110d-10)=90dd=12\ Begin {} allineato & (110 quinquies - 10) = 90d \ & d = \ frac {1} {2} \ \ end {} allineata( 1 1 0 d - 1 0 ) = 9 0 dd =21

Quindi, se si acquista una mezza azione, assumendo gli acquisti frazionali sono possibili, si riuscirà a creare un portafoglio in modo che il suo valore rimane la stessa in entrambi gli stati possibili all’interno del determinato lasso di tempo di un anno.

Questo valore del portafoglio, indicato da (90d) o (110 quinquies - 10) = 45, è di un anno su tutta la linea. Per calcolare il suo valore attuale , esso può essere trascurata dal tasso privo di rischio di ritorno (supponendo 5%).

Valore attuale=90d×e(-5%×1 anno)=45×0.9523=42.85\ Begin {allineato} \ text {Valore attuale} & = 90d \ volte e ^ {(- 5 \% \ times 1 \ text {anno})} \ & = 45 \ volte 0,9523 \ & = 42.85 \ \ end {} allineatiValore attuale= 9 0 d × e( - 5 % × 1  l’anno )= 4 5 × 0 . 9 5 2 3= 4 2 . 8 5

Poiché al momento, il portafoglio è composto da ½ quota di azioni sottostanti (con un prezzo di mercato di $ 100) e una chiamata breve, dovrebbe essere pari al valore attuale.

== >>  ½ * 100-1 * Prezzo chiamata = 42.85

== >>  prezzo Chiamata = $ 7.14 vale a dire il prezzo delle chiamate a partire da oggi.

Dal momento che questo si basa sul presupposto che il valore del portafoglio rimane lo stesso indipendentemente da quale modo in cui il prezzo del sottostante va, la probabilità di un movimento verso l’alto o verso il basso mossa non gioca alcun ruolo. Il portafoglio resta privo di rischio a prescindere dai movimenti di prezzo sottostanti.

In entrambi i casi (assunto fino mossa a $ 110 e spostare verso il basso a $ 90), il vostro portafoglio è neutrale al rischio e si guadagna il privo di rischio tasso di rendimento .

Quindi sia i commercianti, Peter e Paula, sarebbero disposti a pagare lo stesso $ 7.14 per questa opzione call, nonostante le loro diverse percezioni delle probabilità fino mosse (60% e 40%). Le loro probabilità percepiti singolarmente non hanno importanza nella valutazione delle opzioni.

Supponendo invece che le singole probabilità contano, opportunità di arbitraggio possono avere si sono presentati. Nel mondo reale, queste opportunità di arbitraggio esistono con differenziali di prezzo minori e svaniscono nel breve termine .

Ma dov’è la volatilità tanto pubblicizzata in tutti questi calcoli, un fattore importante e delicato che riguarda le opzioni di prezzo?

La volatilità è già incluso dalla natura della definizione del problema. Supponendo due (e solo due - da qui il nome “binomio”) stati di livelli di prezzo ($ 110 e $ 90), la volatilità è implicita in questa assunzione e incluso automaticamente (10% in entrambi i casi, in questo esempio).

Black-Scholes

Ma è questo approccio corretto e coerente con la valutazione di Black-Scholes comunemente usato? risultati Options Calculator (per gentile concessione di OIC) corrispondono a stretto contatto con il valore calcolato:

Purtroppo, il mondo reale non è così semplice come “solo due stati.” Il calcio può raggiungere diversi livelli di prezzo prima del tempo di scadenza.

E ‘possibile includere tutte queste molteplici livelli in un modello di pricing binomio che è limitata a solo due livelli? Sì, è molto possibile, ma per capire che ci vuole qualche semplice matematica.

Math semplice

Per generalizzare questo problema e la soluzione:

“X” è il prezzo corrente di mercato di un titolo e di “X * u” e “X * d” sono i prezzi futuri per il su e giù si muove “t” anni più tardi. Factor “u” sarà maggiore di uno, come indica un up mossa e “d” si trovano tra zero e uno. Per l’esempio di cui sopra, u = 1.1 e d = 0,9.

I profitti sono opzioni call “P up “ e “P dn “ per su e giù si muove al momento della scadenza.

Se si crea un portafoglio di azioni “S” acquistate oggi e di opzione una chiamata breve, poi dopo il tempo “t”:

Valore del portafoglio in caso di una mossa up=SXu-Psu\ Text {valore del portafoglio in caso di un up mossa} = s * X * u - P_ \ text {up}Valore del portafoglio in caso di un up mossa = s * X * u - Psu

Valore del portafoglio in caso di spostamento verso il basso=SXu-Pgiù\ Text {valore del portafoglio in caso di un movimento verso il basso} = s * X * u - P_ \ text {} giùValore del portafoglio in caso di spostare verso il basso = s * X * u - Pgiù

Per la valutazione simile in entrambi i casi di movimento di prezzo:

SXu-Psu=SXd-Pgiùs * X * u - P _ {\ text {up}} = s * X * d - P _ {\ text {basso}}s * X * u - Psu= S * X * d - Pgiù

S=(Psu-Pgiù)(X*(u-d))=il numero di azioni per l’acquisto di un portafoglio privo di rischio\ Begin {allineato} s & = \ frac {(P _ {\ text {up}} - P _ {\ text {down}})} {(X * (u - d))} \ & = \ text {la numero di azioni per l’acquisto di un portafoglio privo di rischio} \ \ end {} allineataS=( X * ( u - d ) )( Psu- Pgiù)= Il numero di azioni per l’acquisto di un portafoglio privo di rischio

Il valore futuro del portafoglio alla fine degli anni “T” sarà:

In caso di movimento fino=SXu-Psu=Psu-Pgiùu-d*u-Psu\ Begin {allineato} \ text {In caso di mossa fino} & = s * X * u - P_ \ text {up} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} { u - d} * u - P_ \ text {up} \ \ end {} allineataIn caso di movimento fino= S * X * u - Psu=u - dPsu- Pgiù* U - Psu

Il valore attuale può essere ottenuto attraverso l’attualizzazione con il tasso privo di rischio di ritorno:

PV=e(-rt)[(Psu-Pgiùu-d)u-Psu]PV = e (-rt) * [(\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d}) * u - P_ \ text {up}]P V = e ( - r t ) * [ (u - dPsu- Pgiù) * U - Psu]

Questo dovrebbe corrispondere al portafoglio possesso di azioni “S” al prezzo di X, e il valore di chiamata breve “c” (l’attuale detenzione di (s * X -. C) dovrebbe equivalere a questo calcolo) Risolvendo per “c”, infine, gli dà come:

Nota: Se è in cortocircuito il premio chiamata, dovrebbe essere un aggiunta al portafoglio, non è una sottrazione.

c=e(-rt)u-d[(e(-rt)-d)Psu+(u-e(-rt))*Pgiù]c = \ frac {e (-rt)} {u - d} * [(e (-rt) - d) * P_ \ text {up} + (u - e (-rt)) * P_ \ text {giù }]c =u - de ( - r t )* [ ( E ( - r t ) - d ) * Psu+ ( U - e ( - r t ) ) * Pgiù]

Un altro modo per scrivere l’equazione è riordinando esso:

Prendendo “q” come:

q=(e(-rt)-d)(u-d)q = \ frac {(e (-rt) - d)} {(u - d)}q =( U - d )( E ( - r t ) - d )

Quindi l’equazione diventa:

c=e(-rt)(qPsu+(1-q)*Pgiù)c = e (-rt) * (q * P_ \ text {up} + (1 - q) * P_ \ text {} verso il basso)c = e ( - r t ) * ( q * Psu+ ( 1 - q ) * Pgiù)

Riordinando l’equazione in termini di “q” ha offerto una nuova prospettiva.

Ora è possibile interpretare “q” come la probabilità di movimento up del sottostante (come “q” è associato con P up e “1-q” è associata a P dn ). Nel complesso, l’equazione rappresenta il presente giorno prezzo dell’opzione , il valore attualizzato del suo payoff alla scadenza.

Questa “Q” è diverso

Come è questa probabilità “q” diversa dalla probabilità di una mossa verso l’alto o verso il basso un movimento del sottostante?

Valore del prezzo delle azioni al momento t=qXu+(1-q)Xd\ Text {Valore del prezzo delle azioni al momento} t = q * X * u + (1-q) * X * dValore del prezzo delle azioni al momento  t = q * X * u + ( 1 - q ) * X * d

Sostituendo il valore di “q” e riorganizzare, il prezzo delle azioni al momento “t” viene a:

Prezzo delle azioni=e(rt)*X\ Text {prezzo della} = e (rt) * XPrezzo delle azioni = e ( r t ) * X

In questo assunto mondo delle due-stati, il prezzo delle azioni aumenta semplicemente il tasso privo di rischio di rendimento, esattamente come un finanziaria priva di rischio, e, quindi, rimane indipendente da qualsiasi rischio. Investitori sono indifferenti rischiare a questo modello, quindi questo costituisce il modello di rischio neutrale.

Probabilità “q” e “(1-q)” sono noti come probabilità di rischio neutro e il metodo di valutazione è noto come il modello di valutazione del rischio neutrale.

Lo scenario di esempio ha un requisito importante - la futura struttura payoff è richiesto con precisione (livello di $ 110 e $ 90). In realtà, tale chiarezza sui livelli di prezzo step-based non è possibile; piuttosto il prezzo si muove in modo casuale e può comporre a più livelli.

Per espandere ulteriormente l’esempio, si supponga che i livelli dei prezzi in due fasi sono possibili. Sappiamo che il secondo passo payoff finali e abbiamo bisogno di valutare l’opzione di oggi (al passo iniziale):

Procedendo a ritroso, la prima valutazione passaggio intermedio (t = 1) può essere effettuato con payoff finali al passaggio due (t = 2), quindi utilizzando questi calcolato prima valutazione stadio (t = 1), l’attuale valutazione (t = 0) può essere raggiunto con questi calcoli.

Per ottenere il prezzo dell’opzione al numero due, sono utilizzati i profitti a quattro e cinque. Per ottenere prezzi per il numero tre, sono utilizzati i profitti a cinque e sei. payoff Infine, calcolati a due e tre vengono utilizzati per ottenere i prezzi al numero uno.

Si prega di notare che questo esempio assume lo stesso fattore per un massimo (e giù) si muove in entrambe le fasi - ued vengono applicate in modo composto.

Un esempio di lavoro

Assumere un’opzione put con un prezzo di esercizio di $ 110 è attualmente scambiato a $ 100 e con scadenza in un anno. Il tasso annuo privo di rischio è pari al 5%. Prezzo è previsto un aumento del 20% e la diminuzione del 15% ogni sei mesi.

Qui, u = 1,2 e d = 0,85, x = 100, t = 0,5

usando la formula precedente derivati

q=(e(-rt)-d)(u-d)q = \ frac {(e (-rt) - d)} {(u - d)}q =( U - d )( E ( - r t ) - d )

otteniamo q = ,35,802832 millions

valore put al punto 2,

p2=e(-rt)(pPupup+(1-q)Pupdn)P2 = e (-rt) * (p * P {upup} + (1-q) P_ {} UPDN)p2= E ( - r t ) * ( p * Pu p u p+ ( 1 - q ) Pu p d n)

Al P upup  condizione, sottostante sarà = 100 * 1,2 * 1,2 = $ 144 che conduce a P upup  = nullo

Al P UPDN  condizione, sottostante sarà = 100 * 1,2 * 0,85 = $ 102 che conduce a P UPDN  = $ 8

Al P DNDN  condizione, sottostante sarà = 100 * 0,85 * 0,85 = $ 72,25 conduce a P DNDN  = $ 37.75

p 2 = ,975,309912 millions * (,35,802832 millions * 0 + (1-,35802832) * 8) = 5,008,970741 millions

Analogamente, p 3 = ,975,309912 millions * (,35,802832 millions * 8 + (1-,35802832) * 37.75) = 26,42,958924 millions

p1=e(-rt)(qp2+(1-q)p3)p_1 = e (-rt) * (q * P_2 + (1-q) P_3)p1= E ( - r t ) * ( q * p2+ ( 1 - q ) p3)

E quindi il valore della put option, p 1 = ,975,309912 millions * (* 0,35,802832 millions 5,008,970741 millions + (1-,35802832) * 26,42,958924 millions) = $ 18.29.

Allo stesso modo, i modelli binomiale consentono di scomporre l’intera durata opzione per affinato ulteriormente più fasi e livelli. Utilizzando programmi per computer o fogli di calcolo, è possibile lavorare indietro di un passo alla volta per ottenere il valore attuale l’opzione desiderata.

Un altro esempio

Assumere un europeo-tipo di opzione put con nove mesi alla scadenza, un prezzo di esercizio di $ 12 e un prezzo sottostante corrente a $ 10. Si supponga un tasso privo di rischio del 5% per tutti i periodi. Assumere ogni tre mesi, il prezzo del sottostante può muoversi 20% su o giù, dandoci u = 1,2, d = 0,8, t = 0,25 e un tre fasi albero binomiale .

Il rosso indica i prezzi sottostanti, mentre il blu indica il payoff di opzioni put. 

Neutrale al rischio probabilità “q” calcola a 0,531,446 mila.

Utilizzando il valore sopra di “q” e valori payoff a t = nove mesi, i corrispondenti valori t = sei mesi sono calcolati come:

Inoltre, utilizzando questi valori calcolati in t = 6, valori in t = 3 allora t = 0 sono:

Che dà il valore attuale di una put option da $ 2.18, abbastanza vicino a quello che ci si trova a fare i calcoli utilizzando il modello di Black-Scholes ($ 2,30).

La linea di fondo

Sebbene l’utilizzo di programmi per computer in grado di fare questi calcoli intensivi facile, la previsione dei prezzi futuri resta una limitazione importante di modelli binomiali per la valutazione delle opzioni. Il più fine gli intervalli di tempo, più difficile si arriva a prevedere le vincite al termine di ogni periodo con una precisione di alto livello.

Tuttavia, la flessibilità per incorporare le modifiche attese in diversi periodi è un plus, che lo rende adatto per i prezzi opzioni americane , tra cui le valutazioni di inizio esercizio.

I valori calcolati utilizzando il modello binomiale strettamente corrispondono a quelli calcolati da altri modelli comunemente usati come Black-Scholes, che indica l’utilità e l’accuratezza dei modelli binomiali per la valutazione delle opzioni. modelli di pricing binomiale possono essere sviluppati in base alle preferenze del commerciante e possono lavorare come alternativa al Black-Scholes.