Pubblicato in 11 April 2019

Come utilizzare la simulazione Monte Carlo con GBM

Uno dei modi più comuni per stimare il rischio è l’uso di una simulazione Monte Carlo (MCS). Ad esempio, per calcolare il valore a rischio (VaR) di un portafoglio, siamo in grado di eseguire una simulazione Monte Carlo che tenta di prevedere il peggio perdita probabile per un portafoglio dato un intervallo di confidenza su un orizzonte di tempo specificato (abbiamo sempre bisogno di specificare due condizioni per VAR: la fiducia e la Horizon). 

In questo articolo passeremo in rassegna un MCS base applicati ad un prezzo delle azioni utilizzando uno dei modelli più diffusi in finanza: moto browniano geometrico (GBM). Pertanto, mentre la simulazione Monte Carlo può fare riferimento a un universo di diversi approcci alla simulazione, inizieremo qui con il più fondamentale.

Dove iniziare

Una simulazione Monte Carlo è un tentativo di prevedere il futuro più volte. Al termine della simulazione, migliaia o milioni di “processi casuali” producono una distribuzione dei risultati che possono essere analizzati. I passi fondamentali sono i seguenti:

1. Specificare un modello (ad esempio, GBM)

Per questo articolo, useremo il moto browniano geometrico (GBM), che è tecnicamente un processo Markov. Ciò significa che il prezzo del titolo segue una passeggiata aleatoria ed è coerente con (almeno) la forma debole della ipotesi di mercato efficiente (EMH) - passato informazioni sui prezzi è già incorporato, e la prossima movimento dei prezzi è “condizionatamente indipendente” di movimenti dei prezzi passati.

La formula per GBM è trovato sotto ::

ΔSS=μΔt+σεΔtdove:S=Il prezzo delle azioniΔS=La variazione di prezzo delle azioniμ=Il rendimento attesoσ=The standard deviation of returnsϵ=The random variableΔt=The elapsed time period\ Begin {} allineato & \ frac {\ Delta S} {S} = \ mu \ Delta t + \ sigma \ epsilon \ sqrt {\ Delta T} \ & \ textbf {dove:} \ & S = \ text { il prezzo delle azioni} \ & \ Delta S = \ text {la variazione di prezzo delle azioni} \ & \ mu = \ text {} il rendimento atteso \ & \ sigma = \ text {la deviazione standard dei rendimenti} \ & \ epsilon = \ text {La variabile casuale} \ & \ Delta t = \ text {Il periodo di tempo trascorso} \ \ end {} allineataSΔ S= U Æ t + σ εΔ tdove:S = Il prezzo delle azioniΔ S = La variazione di prezzo delle azioniμ = il rendimento attesoσ = La deviazione standard dei rendimentiε = La variabile casualeΔ t = Il periodo di tempo trascorso

Se noi riorganizzare la formula per risolvere solo per la variazione del prezzo delle azioni, vediamo che GMB dice che il cambiamento nel prezzo delle azioni è il prezzo del titolo “S”, moltiplicato per i due termini che si trovano all’interno della parentesi sotto:

ΔS=S(μΔt+σϵΔt)\ Delta S = S * \ left (\ mu \ Delta t + \ sigma \ epsilon \ sqrt {\ Delta t} \ right)Δ S = S * ( u Δ t + σ εΔ t)

Il primo termine è una “deriva” e il secondo termine è un “shock”. Per ogni periodo di tempo, il nostro modello assume il prezzo sarà “deriva” dal rendimento atteso. Ma la deriva sarà sconvolto (aggiunto o sottratto) da uno shock casuale. Lo shock casuale sarà la deviazione standard “s” moltiplicato per un numero casuale “e”. Questo è semplicemente un modo di scalare la deviazione standard.

Questa è l’essenza di GBM, come illustrato nella figura 1. Il prezzo delle azioni segue una serie di passi, dove ogni passo è una deriva più o meno uno shock casuale (esso stesso una funzione di deviazione standard del titolo):

Figura 1

2. Generare Prove casuali

Armato di una specifica modello, quindi procedere a eseguire prove casuali. Per illustrare, abbiamo utilizzato Microsoft Excel per eseguire 40 prove. Tenete a mente che questo è un piccolo campione irrealisticamente; la maggior parte delle simulazioni o “Sims” correre almeno diverse migliaia di prove.

In questo caso, supponiamo che lo stock inizia al giorno zero con un prezzo di $ 10. Ecco una tabella dei risultati in cui ogni passo temporale (o intervallo) è di un giorno e la serie corre per dieci giorni (in sintesi: studi quaranta con passi quotidiani oltre dieci giorni):

Figura 2: moto browniano geometrico

Il risultato è di quaranta i prezzi delle azioni simulate al termine di 10 giorni. Nessuno è accaduto a scendere al di sotto $ 9, ed è al di sopra $ 11.

3. Processo Output

La simulazione ha prodotto una distribuzione di risultati futuri ipotetiche. Potremmo fare diverse cose con l’uscita.

Se, ad esempio, vogliamo stimare il VaR del 95%, quindi abbiamo solo bisogno di trovare il risultato trentottesimo in classifica (la terza peggior risultato). Questo perché 240 uguale a 5%, in modo che i due peggiori risultati sono nel più basso 5%.

Se Stack i risultati illustrati in bidoni (ogni bin è un terzo di $ 1, quindi tre bidoni copre l’intervallo da $ 9 a $ 10), otterremo il seguente istogramma:

Figura 3

Ricordate che il nostro modello GBM assume la normalità; i rendimenti dei prezzi sono normalmente distribuiti con rendimento atteso (media) “m” e la deviazione standard “s”. È interessante notare che il nostro istogramma non è alla ricerca normale. Infatti, con più prove, non sarà tendere verso la normalità. Invece, tenderà verso una distribuzione lognormale: un brusco rientro a fianco di media e altamente asimmetrica “coda lunga” a destra della media.

Questo porta spesso a una dinamica potenziale fonte di confusione per gli studenti per la prima volta:

  • Prezzo rendimenti sono normalmente distribuiti.
  • Prezzo livelli sono di log-distribuiti normalmente.

Pensare in questo modo: un magazzino in grado di tornare verso l’alto o verso il basso del 5% o del 10%, ma dopo un certo periodo di tempo, il prezzo delle azioni non può essere negativo. Inoltre, gli aumenti dei prezzi al rialzo hanno un compounding effetto, mentre i decrementi di prezzo al ribasso ridurre la base: perdono il 10% e si sono lasciati con meno da perdere la prossima volta.

Ecco un grafico della distribuzione lognormale sovrapposta nostre ipotesi illustrate (ad esempio il prezzo di $ 10 iniziale):

Figura 4

La linea di fondo 

Una simulazione Monte Carlo si applica un modello selezionato (che specifica il comportamento di uno strumento) per un ampio insieme di prove casuali, nel tentativo di produrre una serie plausibile di possibili risultati futuri. Per quanto riguarda la simulazione i prezzi delle azioni, il modello più comune è moto browniano geometrico (GBM). GBM presuppone che una deriva costante è accompagnata da shock casuali. Mentre i rendimenti periodo in GBM sono distribuiti normalmente, la conseguente multi-periodo (per esempio, una decina di giorni) livelli di prezzo sono Lognormally distribuiti.