Veröffentlicht am 30 April 2019

Satz von Bayes

Was ist der Satz von Bayes?

Bayes-Theorem, benannt nach dem 18. Jahrhundert britischer Mathematiker Thomas Bayes, ist eine mathematische Formel zur Bestimmung bedingte Wahrscheinlichkeit . Der Satz bietet eine Möglichkeit , bestehende Prognosen oder Theorien zu revidieren (Update Wahrscheinlichkeiten) gegeben , neue oder zusätzliche Beweise. In der Finanzwelt kann Bayes Theorem das bewerten verwendet wird Risiko von Kreditvergabe an potenziellen Kreditnehmer.

Bayes-Regel oder Bayes’ Recht und ist die Grundlage für das Gebiet der Bayes-Statistik-Theorem wird auch Bayes genannt.

Die zentralen Thesen

  • Satz von Bayes ermöglicht es Ihnen, durch die Aufnahme neuer Informationen vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses zu aktualisieren.
  • Satz von Bayes wurde nach dem 18. Jahrhundert Mathematiker Thomas Bayes benannt.
  • Es wird oft in den Bereichen Finanzen bei der Aktualisierung der Risikobewertung eingesetzt.

Die Formel für den Satz von Bayes ist

P(AB)=P(AB)P(B)=P(A)P(BA)P(B)where:P(A) is the probability of A occurring;P(B) is the probability of B occurring;P(AB) is the probability of A given B;P(BA) is the probability of B given A; andP(AB)) is the probability of both A and B occurring.beginnen \ {ausgerichtet} & P \ links (A | B \ rechts) = \ frac {P \ left (A \ bigcap {B} \ right)} {P \ left (B \ right)} = \ frac {P \ left (A \ right) \ cdot {P \ left (B | A \ right)}} {P \ left (B \ right)} \ & \ textbf {where:} \ & P \ left (A \ right) \ Text {ist die Wahrscheinlichkeit eines auftretenden;} \ & P \ links (B \ right) \ text {die Wahrscheinlichkeit von B auftritt;} \ & P \ links (A | B \ right) \ text {die Wahrscheinlichkeit Ein gegebenes B;} \ & P \ left (B | A \ right) \ text {wird die Wahrscheinlichkeit von B A gegeben; und P &} \ \ left (A \ bigcap {B} \ rechts)) \ {Text ist die Wahrscheinlichkeit, daß beide A und B auftreten.} \ \ end {ausgerichtet}P ( A | B ) =P ( B )P ( A B )=P ( B )P ( A )P ( B | A )woher:P ( A )  ist die Wahrscheinlichkeit eines auftretenden;P ( B )  ist die Wahrscheinlichkeit des B auftritt;P ( A | B )  ist die Wahrscheinlichkeit eines gegebenen B;P ( B | A )  ist die Wahrscheinlichkeit der gegebenen B A; undP ( A B ) ) ,  ist die Wahrscheinlichkeit , daß beide A und B auftreten.

Satz von Bayes Erklärt

Anwendungen des Satzes sind weit verbreitet und nicht auf den finanziellen Bereich beschränkt. Als Beispiel kann Bayes Theorem unter Berücksichtigung der Genauigkeit der medizinischen Testergebnisse zu bestimmen , verwendet werden , wie wahrscheinlich jede gegebene Person eine Krankheit und die allgemeine Genauigkeit des Tests zu haben. Bayes-Theorem basiert auf Einbeziehung vorherige Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu erzeugen , um posterior Wahrscheinlichkeiten. Vor Wahrscheinlichkeit, in Bayesian statistische Inferenz, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, bevor neue Daten gesammelt werden. Dies ist die beste rationale Beurteilung der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses auf dem aktuellen Wissensstand vor einem Experiment durchgeführt wird. Posteriori-Wahrscheinlichkeit ist die überarbeitete Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nach der Einnahme auftritt Berücksichtigung neuer Informationen. Posteriori-Wahrscheinlichkeit wird durch die Aktualisierung der frühere Wahrscheinlichkeit berechnet, indem Bayes-Theorem verwendet wird. Statistisch gesehen ist die Posteriori-Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A das Ereignis B aufgetreten ist Auftretende gegeben.

Bayes-Theorem gibt somit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf neue Informationen basieren, die ist, oder kann bezogen werden, zu diesem Ereignis. Die Formel kann auch zu sehen, verwendet werden, wie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch hypothetische neue Informationen betroffen auftritt, die neuen Informationen angenommen wird sich um wahr zu sein. Zum Beispiel, sagt eine einzelne Karte aus einem kompletten Deck aus 52 Karten gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Karte eine König 4 wird durch 52 geteilt, die 113 oder ungefähr 7,69% entspricht. Denken Sie daran, dass es 4 Könige im Deck. Angenommen nun, es zeigt sich, dass die gewählte Karte ist eine Bildkarte. Die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Karte ist ein König, da es sich um eine Bildkarte ist, ist 4 dividiert durch 12 oder ungefähr 33,3%, wie es 12 Bildkarten in einem Deck sind.

Herleiten Bayes Theorem Formel mit einem Beispiel

Bayes-Theorem folgt einfach aus den Axiomen der bedingten Wahrscheinlichkeit. Bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gegeben , dass ein anderes Ereignis aufgetreten ist . Zum Beispiel kann eine einfache Wahrscheinlichkeit Frage stellen: „Was ist die Wahrscheinlichkeit von Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN)? Aktienkurs fallen“ Bedingte Wahrscheinlichkeit nimmt diese Frage einen Schritt weiter , indem er: „Was ist die Wahrscheinlichkeit , AMZN Aktienkurs fällt gegeben , dass der Dow Jones Industrial Average ? (DJIA) Index früher fiel“

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben, dass B passiert hat, kann wie folgt ausgedrückt werden:

Wenn A: „AMZN Preis fällt“ dann P (AMZN) ist die Wahrscheinlichkeit, dass AMZN fällt; und B: „DJIA ist bereits nach unten“, und P (DJIA) die Wahrscheinlichkeit ist, dass der DJIA fiel; dann liest die bedingte Wahrscheinlichkeit Ausdruck als „die Wahrscheinlichkeit, dass AMZN einen DJIA Rückgang ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass AMZN Preisverfall und DJIA sinkt über die Wahrscheinlichkeit einer Abnahme des DJIA Index gegeben Tropfen.

P (AMZN | DJIA) = P (AMZN und DJIA) / P (DJIA)

P (AMZN und DJIA) die Wahrscheinlichkeit von sowohl  A und B auftreten. Dies ist auch das gleiche wie die Wahrscheinlichkeit eines multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit , dass auftretenden B gegeben wird, für die A occurrs, ausgedrückt als P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Die Tatsache , dass diese beiden Ausdrücke sind gleich führt zu Bayes-Theorem, das als geschrieben wird:

wenn P (AMZN und DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)

dann, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).

Wobei P (AMZN) und P (DJIA) sind die Wahrscheinlichkeiten von Amazon und dem Dow Jones fallen, ohne Rücksicht auf sie.

Die Formel erklärt die Beziehung zwischen der Wahrscheinlichkeit der Hypothese vor, die Beweise zu sehen, dass P (AMZN), und die Wahrscheinlichkeit der Hypothese nach, die Beweise P bekommen (AMZN | DJIA), eine Hypothese für Amazon gegeben Beweise im Dow gegeben.

Zahlenbeispiel für den Satz von Bayes

Als ein numerisches Beispiel vorstellen, dass es ein Drogen-Test ist, dass 98% genau ist, 98% der Zeit, was bedeutet, es zeigt ein wahres positives Ergebnis für jemanden, die Anwendung des Arzneimittels und 98% der Zeit, es zeigt ein wahres negatives Ergebnis für nonusers der Droge. Als nächstes sei angenommen, 0,5% der Menschen die Droge verwenden. Wenn eine Person zufällig Tests positiv für das Medikament ausgewählt, kann die folgende Berechnung durchgeführt werden, um zu sehen, ob die Wahrscheinlichkeit, dass die Person tatsächlich ein Benutzer des Medikaments ist.

(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 - 0,98) x (1 - 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%

Bayes-Theorem zeigt, dass selbst wenn eine Person in diesem Szenario positiv getestet, es tatsächlich viel wahrscheinlicher ist die Person nicht ein Benutzer des Medikaments ist.